Exercices corrigés sur les Espaces vectoriels

 

Exercice 0 : montrer qu'une application est linéaire

 

Question 1 :

Démontrer que l'application $f$ est linéaire

$$
\begin{array}{rrcl}
f \ : & \mathbb{R} _3[X] & \to & \mathbb{R}_3[X] \\
& P(X) & \mapsto & X \times P'(X) - P(X)
\end{array}
$$

Indication

Solution

Question 2 :

Démontrer que l'application $f$ est linéaire

$$
\begin{array}{rrcl}
f \ : & M_{3,1}(\mathbb{R}) & \to & \mathbb{R} \\
& \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} & \mapsto & x+5y-2z
\end{array}
$$

 


Indication

Solution

Question 3 :

Démontrer que l'application $g$ est linéaire

$$
\begin{array}{rrcl}
g \ : & \mathbb{R}^3 & \to & \mathbb{R}^2 \\
& (x,y,z) & \mapsto & (3x+y-z,x+y+2z)
\end{array}
$$

 

Indication

Solution

Question 4 :

Démontrer que l'application $f$ est linéaire

$$
\begin{array}{rrcl}
f \ : & M_{3,1}(\mathbb{R})& \to & M_{2,1}(\mathbb{R}) \\
&
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} & \mapsto &
\begin{pmatrix}
x+5y-2z \\ x-z
\end{pmatrix}
\end{array}
$$

 

Indication

Solution

Question 5 :

Démontrer que l'application $\varphi$ est linéaire et que c'est un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$.

$$
\begin{array}{rrcl}
\varphi \ : & \mathbb{R}_2[X] & \to & \mathbb{R}[X] \\
& P(X) & \mapsto & (X+1) \times P'(X)
\end{array}
$$

Indication

Solution

   

Question 6 :

Démontrer que l'application $\varphi$ est linéaire et que $\text{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R_3}[X]$.

$$
\begin{array}{rrcl}
\varphi \ : & \mathbb{R}_2[X] & \to & \mathbb{R_3}[X] \\
& P(X) & \mapsto & (5X+2) \times P(X)
\end{array}
$$

Indication

Solution

Question 8 :

 

Indication

Solution