Exercices corrigés sur les Espaces vectoriels |
Exercice 0 : montrer qu'une application est linéaire |
Question 1 :
Démontrer que l'application $f$ est linéaire
$$
\begin{array}{rrcl}
f \ : & \mathbb{R} _3[X] & \to & \mathbb{R}_3[X] \\
& P(X) & \mapsto & X \times P'(X) - P(X)
\end{array}
$$
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Indication
Par définition : $f \ : \ E \to F$ est une application linéaire ssi
$$
\text{$\forall (u,v) \in E^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $f ( \lambda u + v ) =
\lambda f( u ) + f( v )$}
$$
Solution
$\forall (P,Q) \in \mathbb{R}_3[X]^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a
$
\begin{eqnarray}
f ( \lambda P + Q )
&=&
X(\lambda P + Q)' (X) - (\lambda P + Q) (X) \qquad \text{ par définition de } f
\\
&=&
X(\lambda P' + Q') (X) - (\lambda P + Q) (X) \qquad \text{ par linéarité de la dérivation }
\\
&=&
\lambda (XP'(X) - P(X)) + (Q'(X) - Q(X))
\\
&=&
\lambda f ( P ) + f ( Q ) \qquad \text{ par définition de } f
\end{eqnarray}
$
Ainsi,
$\forall (P,Q) \in \mathbb{R}_3[X]$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$,
$ f( \lambda P +Q ) = \lambda f(P) + f(Q)$ ;
donc $f$ est une application linéaire.
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Question 2 :
Démontrer que l'application $f$ est linéaire
$$
\begin{array}{rrcl}
f \ : & M_{3,1}(\mathbb{R}) & \to & \mathbb{R} \\
& \begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}
& \mapsto & x+5y-2z
\end{array}
$$
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Indication
Par définition : $f \ : \ E \to F$ est une application linéaire ssi
$$
\text{$\forall (u,v) \in E^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $f ( \lambda u + v ) =
\lambda f( u ) + f( v )$}
$$
Solution
$\forall
\left(
\begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right) \in (M_{3,1}(\mathbb{R}))^2$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
$
\begin{eqnarray*}
f \left( \lambda \begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right)
&=&
f \left( \begin{pmatrix}
\lambda x_1 + x_2 \\ \lambda y_1 + y_2 \\ \lambda z_1 + z_2
\end{pmatrix}
\right)
\\
&=&
(\lambda x_1 + x_2)+5(\lambda y_1 + y_2)-2(\lambda z_1 + z_2)
\qquad \text{ par définition de $f$}
\\
\\
&=& \lambda( x_1+5y_1-2z_1 ) + ( x_2+5y_2-2z_2) \qquad \text{ par factorisation}
\\
&=& \lambda
f \left(
\begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix}
\right)
+
f \left(
\begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right)
\qquad \text{ par définition de $f$}
\end{eqnarray*}
$
Ainsi,
$\forall
\left(
\begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right) \in (M_{3,1}(\mathbb{R}))^2$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
$ f \left( \lambda \begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right)
=
\lambda
f \left(
\begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix}
\right)
+
f \left(
\begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right) $ ;
donc $f$ est une application linéaire.
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Question 3 :
Démontrer que l'application $g$ est linéaire
$$
\begin{array}{rrcl}
g \ : & \mathbb{R}^3 & \to & \mathbb{R}^2 \\
& (x,y,z) & \mapsto & (3x+y-z,x+y+2z)
\end{array}
$$
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Indication
Par définition : $g \ : \ E \to F$ est une application linéaire ssi
$$
\text{$\forall (u,v) \in E^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $g ( \lambda u + v ) =
\lambda g( u ) + g( v )$}
$$
Solution
$\forall ((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)) \in ({\mathbb R}^3)^2$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
\begin{eqnarray*}
g( \lambda (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) )
&=& g( ( \lambda x_1 + x_2, \lambda y_1 + y_2 , \lambda z_1 + z_2) ) %
\\
&=& \left(
3(\lambda x_1 + x_2)+(\lambda y_1 + y_2)-(\lambda z_1 + z_2),(\lambda x_1 + x_2)+(\lambda y_1 + y_2)+2 (\lambda z_1 + z_2) \right)
\qquad \text{ par définition de $g$}
\\
&=& \lambda( 3x_1+y_1-z_1,x_1+y_1+2z_1 ) + (3x_2+y_2-z_2,x_2+y_2+2z_2) \qquad \text{ par factorisation}
\\
&=& \lambda g((x_1,y_1,z_1)) + g((x_2,y_2,z_2)) \qquad \text{ par définition de $g$}
\end{eqnarray*}
Ainsi,
$\forall ((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)) \in ({\mathbb R}^3)^2$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
$ g( \lambda (x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2) ) = \lambda g( (x_1,y_1,z_1) ) + g( (x_2,y_2,z_2) )$ ;
donc $g$ est une application linéaire.
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Question 4 :
Démontrer que l'application $f$ est linéaire
$$
\begin{array}{rrcl}
f \ : & M_{3,1}(\mathbb{R})& \to & M_{2,1}(\mathbb{R}) \\
&
\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix} & \mapsto &
\begin{pmatrix}
x+5y-2z \\ x-z
\end{pmatrix}
\end{array}
$$
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Indication
Par définition : $f \ : \ E \to F$ est une application linéaire ssi
$$
\text{$\forall (u,v) \in E^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $f ( \lambda u + v ) =
\lambda f( u ) + f( v )$}
$$
Solution
$\forall
\left(
\begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right) \in (M_{3,1}(\mathbb{R}))^2$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
$
\begin{eqnarray*}
f \left( \lambda \begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right)
&=&
f \left( \begin{pmatrix}
\lambda x_1 + x_2 \\ \lambda y_1 + y_2 \\ \lambda z_1 + z_2
\end{pmatrix}
\right)
\\
&=&
\begin{pmatrix}
(\lambda x_1 + x_2)+5(\lambda y_1 + y_2)-2(\lambda z_1 + z_2) \\
(\lambda x_1 + x_2) -(\lambda z_1 + z_2)
\end{pmatrix}
\qquad \text{ par définition de $f$}
\\
\\
&=& \lambda
\left(
\begin{pmatrix}
x_1 +5 y_1 -2 z_1 \\
x_1 - z_1 \\
\end{pmatrix}
\right) +
\begin{pmatrix}
x_2 +5 y_2 -2 z_2 \\
x_2 - z_2 \\
\end{pmatrix}
\qquad \text{ par factorisation}
\\
&=& \lambda
f \left(
\begin{pmatrix}
x_1 \\ y_1 \\ z_1
\end{pmatrix}
\right)
+
f \left(
\begin{pmatrix}
x_2 \\ y_2 \\ z_2
\end{pmatrix}
\right)
\qquad \text{ par définition de $f$}
\end{eqnarray*}
$
Conclusion : $f$ est une application linéaire.
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Question 5 :
Démontrer que l'application $\varphi$ est linéaire et que c'est un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$.
$$
\begin{array}{rrcl}
\varphi \ : & \mathbb{R}_2[X] & \to & \mathbb{R}[X] \\
& P(X) & \mapsto & (X+1) \times P'(X)
\end{array}
$$ |
Indication
Par définition : $\varphi \ : \ E \to F$ est une application linéaire ssi
$$
\text{$\forall (u,v) \in E^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $\varphi( \lambda u + v ) =
\lambda \varphi( u ) + \varphi( v )$}
$$
$\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$ ssi on montre que pour tout polynôme $P \in \mathbb{R}_2[X]$ on a
$\varphi(P) \in \mathbb{R}_2[X]$.
Solution
$\forall (P,Q) \in \mathbb{R}_2[X]$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
\begin{eqnarray*}
\varphi( \lambda P +Q )
&=& (X+1) \times ( \lambda P +Q )'(X) \qquad \text{ par définition de $\varphi$}
\\
&=& (X+1) \times ( \lambda P'(X) +Q'(X) ) \qquad \text{ car la dérivation est linéaire}
\\
&=& \lambda( (X+1) \times P'(X) ) + ( (X+1) \times Q'(X) ) \qquad \text{ par factorisation}
\\
&=& \lambda \varphi(P) + \varphi(Q) \qquad \text{ par définition de $\varphi$}
\end{eqnarray*}
Ainsi,
$\forall (P,Q) \in {\mathbb R}_2[X]$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
$ \varphi( \lambda P +Q ) = \lambda \varphi(P) + \varphi(Q)$ ;
donc $\varphi$ est linéaire.
$\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$ ssi on montre que pour tout polynôme $P \in \mathbb{R}_2[X]$ on a
$\varphi(P) \in \mathbb{R}_2[X]$.
Si $P \in \mathbb{R}_2[X]$ alors $\deg(P) \leq 2$ et par conséquent, $\deg(P') \leq 1$ et donc $\deg( (X+1) \times P'(X) ) =
1 + \deg(P')$ vérifie $\deg( (X+1) \times P'(X) ) \leq 2$, c'est à dire $\varphi(P) \in \mathbb{R}_2[X]$.
En conclusion, $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_2[X]$.
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Question 6 :
Démontrer que l'application $\varphi$ est linéaire et que $\text{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R_3}[X]$.
$$
\begin{array}{rrcl}
\varphi \ : & \mathbb{R}_2[X] & \to & \mathbb{R_3}[X] \\
& P(X) & \mapsto & (5X+2) \times P(X)
\end{array}
$$ |
Indication
Solution
$\forall (P,Q) \in \mathbb{R}_2[X]$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
\begin{eqnarray*}
\varphi( \lambda P +Q )
&=& (5X+2) \times ( \lambda P +Q )(X) \qquad \text{ par définition de $\varphi$}
\\
&=& (5X+2) \times ( \lambda P(X) +Q(X) )
\\
&=& \lambda( (5X+2) \times P(X) ) + ( (5X+2) \times Q(X) ) \qquad \text{ par développement puis factorisation par $\lambda$}
\\
&=& \lambda \varphi(P) + \varphi(Q) \qquad \text{ par définition de $\varphi$}
\end{eqnarray*}
Ainsi,
$\forall (P,Q) \in {\mathbb R}_2[X]$, $\forall \lambda \in {\mathbb R}$,
$ \varphi( \lambda P +Q ) = \lambda \varphi(P) + \varphi(Q)$ ;
donc $\varphi$ est linéaire.
Montrons que $\text{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R}_3[X]$ :
Pour tout polynôme $P \in \mathbb{R}_2[X] $ on a $\deg(P) \leq 2$ donc
$\deg( (5X+2) \times P(X) ) = 1 + \deg(P)$ vérifie $\deg( (5X+2) \times P(X) ) \leq 3$. Donc $\varphi(P) \in \mathbb{R_3}[X]$.
Pour tout polynôme $P \in \mathbb{R}_2[X] $ on a $\varphi(P) \in \mathbb{R_3}[X]$. Donc
$\text{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R}_3[X]$.
Autre solution :
La base canonique de $\mathbb{R}_2[X] $ est formée des polynômes $(1,X,X^2)$. $\varphi$ est linéaire donc
$\text{Im}(\varphi) = Vect ( \varphi(1);\varphi(X);\varphi(X^2))$.
$\varphi(1) = (5X+2) \times 1 = 2+5X \in \mathbb{R_3}[X]$
$\varphi(X) = (5X+2) \times X = 2X+5X^2 \in \mathbb{R_3}[X]$
$\varphi(X^2) = (5X+2) \times (X^2) = 2X^2+5X^3 \in \mathbb{R_3}[X]$
$\mathbb{R}_3[X]$ est un espace vectoriel qui contient toutes les images de des vecteurs d'une base de $E= \mathbb{R}_2[X] $
donc
$\text{Im}(\varphi) = Vect ( \varphi(1);\varphi(X);\varphi(X^2)) \subset \mathbb{R}_3[X]$.
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