Par définition : $\varphi \ : \ E \to F$ est une application linéaire ssi $$ \text{$\forall (u,v) \in E^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $\varphi( \lambda u + v ) = \lambda \varphi( u ) + \varphi( v )$} $$

$\forall (P,Q) \in \mathbb{R}_n[X]^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $ \begin{eqnarray} \varphi( \lambda P + Q ) &=& (\lambda P + Q) (X+1) - (\lambda P + Q) (X) \qquad \text{ par définition de } \varphi \\ &=& \lambda (P(X+1) - P(X)) + (Q(X+1) - Q(X)) \\ &=& \lambda \varphi( P ) + \varphi( Q ) \end{eqnarray} $
donc $\varphi$ est une application linéaire.

Un endomorphisme de $E$ est une application linéaire de $E$ dans $E$

On a déjà prouvé à la question 1 que $\varphi$ était une application linéaire. Il reste à prouver que pour tout $P \in E$ on a $\varphi(P) \in E$.

Si $P \in E$ alors $\deg(P) \leq n$. Alors $\deg(P(X+1))= \deg(P) \leq n$ et $\deg(P) \leq n$ donc $\deg( P(X+1) - P(X) \leq \max( \deg(P(X+1) ; \deg(P)) \leq n$. On a donc $\varphi(P) \in E$.

Autre solution :
Si $P \in E$ alors $\deg(P) \leq n$ ; et alors $\deg(P(X+1))= \deg(P) \leq n$ donc $P(X+1) \in E$.
$P (X+1)\in E$ et $P(X) \in E$, et $E$ est un espace vectoriel donc $P(X+1)-P(X) \in E$. On a donc $\varphi(P) \in E$.

Par définition, $\ker(\varphi) = \{ x \in E \mid \varphi(x) = 0_F \}$

Par définition, $\ker(\varphi) = \{ P \in \mathbb{R}_n[X] \mid P(X+1)-P(X) = 0 \}$ Donc $\ker(\varphi) = \{ P \in \mathbb{R}_n[X] \mid P(X+1) = P(X) \}$

Montrons que l'ensemble des polynômes qui vérifie $P(X+1) =P(X)$ est l'ensemble des polynômes constants :

Soit $P$ un polynôme tel que $P(X+1)=P(X)$ alors $P$ est constant ; en effet si $P$ n'est pas constant alors il est de degré supérieur ou égal à $1$ et donc il admet au moins une racine $\alpha \in \mathbb{C}$ (d'après le théorème de d'Alembert-Gauss).
Si $\alpha$ est une racine de $P$ alors $P(\alpha)=0$ et puisque $P(X+1)=P(X)$, on a en particulier $P(\alpha+1)=P(\alpha)$ et donc $P(\alpha+1)=0$. Donc $\alpha+1$ et une autre racine de $P$.
Alors on démontre par une récurrence immédiate que $\forall n \in \mathbb{N}, \ \alpha +n$ est une racine de $P$.
$P$ possède alors une infinité de racines, et $P$ est donc le polynôme nul, ce qui est en contradiction avec le fait que $P$ est non constant.
Réciproquement, tout polynôme $P$ constant vérifie $P(X+1) = P(X)$.

Par conséquent, $\ker(\varphi) = \{ P \in \mathbb{R}_n[X] \mid P(X+1)-P(X) = 0 \} = \{ P \in \mathbb{R}_n[X] \mid P \text{ est constant} \} $.

Ainsi, $\ker(\varphi) = \mathbb{R}_0[X]$ est un espace vectoriel de dimension $1$ (droite vectorielle).

$E$ est de dimension finie et on connaît la dimension du noyau donc on applique le théorème du rang.

$E = \mathbb{R}_n[X]$ est un espace de dimension finie $n+1$ donc on peut appliquer le théorème du rang à $\varphi$ :
$\text{Im}( \varphi)$ est de dimension finie et $\dim(E) = \dim(\ker(\varphi) ) + \dim( \text{Im}( \varphi) ) $ ; ce qui donne ici $$ n+1 = 1 + \dim( \text{Im}( \varphi) ) $$ donc $\dim( \text{Im}( \varphi) )=n$

D'après le cours, $\text{Im}( \varphi)$ est engendrée par l'image des vecteurs d'une famille génératrie de $E$. Montrer que pour tout polynôme $X^k$ de la base canonique de $E$, $\varphi(X^k) \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$.

Les polynômes $(X^k)_{0 \leq k \leq n}$ forment la base canonique de $E = \mathbb{R}_{n}[X]$. Donc $\text{Im}( \varphi) = Vect ( ( \varphi(X^k) )_{0 \leq k \leq n} )$ ; or si $k \in [\![0;n]\!]$ alors $\varphi(X^k) = (X+1)^k - X^k = \sum\limits_{j=0}^{k-1} {{k}\choose{j}} X^j$ par le binôme de Newton ; donc $\varphi(X^k) \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$ pour tout $k \in [\![0;n]\!]$.
Et $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ est un espace vectoriel ; par conséquent, $\text{Im}( \varphi) = Vect ( ( \varphi(X^k) )_{0 \leq k \leq n} ) \subset \mathbb{R}_{n-1}[X]$.

On a obtenu une inclusion et on connaît les dimensions...

On a montré à la question précédente que $\text{Im}( \varphi) \subset \mathbb{R}_{n-1}[X]$, et on sait d'après la question 4 que $\text{Im}( \varphi)$ est de dimension $n$, tout comme $\mathbb{R}_{n-1}[X]$. On a donc l'égalité $\text{Im}( \varphi) = \mathbb{R}_{n-1}[X]$.