Exercices corrigés sur les espaces vectoriels |
Exercice 3 : calcul du rang d'une matrice |
Question 1 :
Déterminer le rang de la matrice
$$
A = \left(
\begin{array}{ccccc}
1&5&9&13&17\\
3&7&11&15&19\\
2&6&1&0&11\\
1&3&14&21&16
\end{array}
\right)
$$
|
Indication
Par opérations linéaires sur les lignes, obtenir une matrice échelonnée.
Solution
\begin{eqnarray*}
%1
\text{rg}
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{ccccc}
1&5&9&13&17\\
3&7&11&15&19\\
2&6&1&0&11\\
1&3&14&21&16
\end{array}
\right)
&
\begin{array}{c}
{ (L_1)} \\
{ (L_2)} \\
{ (L_3)} \\
{ (L_4)} \\
\end{array}
\end{array}
%
&=&
%2
\text{rg}
\begin{array}{ccccc}
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 5 & 9 & 13 & 17 \\
0 & - 8 & - 16 & - 24 & - 32 \\
0 & - 4 & - 17 & - 26 & - 23 \\
0 & - 2 & 5 & 8 & - 1 \\
\end{array}
\right)
&
\begin{array}{c}
{ (L_1)} \\
{ (L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1)} \\
{ (L_3 \leftarrow L_3 - 2L_1)} \\
{ (L_4 \leftarrow L_4 - L_1)} \\
\end{array}
\end{array}
%
\\
&=&
%3
\text{rg}
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 5 & 9 & 13 & 17 \\
0 & - 8 & - 16 & - 24 & - 32 \\
0 & 0 & - 18 & - 28 & - 14 \\
0 & 0 & 36 & 56 & 28 \\
\end{array}
\right)
&
\begin{array}{c}
{ (L_1)} \\
{ (L_2)} \\
{ (L_3 \leftarrow 2L_3 - L_2)} \\
{ (L_4 \leftarrow 4L_4 - L_2)} \\
\end{array}
\end{array}
%
\\
&=&
%4
\text{rg}
\begin{array}{cc}
\left(
\begin{array}{ccccc}
1 & 5 & 9 & 13 & 17 \\
0 & - 8 & - 16 & - 24 & - 32 \\
0 & 0 & - 18 & - 28 & - 14 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
&
\begin{array}{c}
{ (L_1)} \\
{ (L_2)} \\
{ (L_3)} \\
{ (L_4 \leftarrow L_4 +2 L_3)} \\
\end{array}
\end{array}
%
\end{eqnarray*}
La matrice
$
\left(
\begin{array}{ccccc}
\fbox{1} & 5 & 9 & 13 & 17 \\
0 & \fbox{- 8} & - 16 & - 24 & - 32 \\
0 & 0 & \fbox{- 18} & - 28 & - 14 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right)
$
est échelonnée de rang $3$. Donc $\text{rg}(A)=3$.
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Question 2 :
Déterminer le rang de la matrice
$$
A = \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 7 & 1 \\
2 & 3 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 8 & 1 \\
2 & 4 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 7 & 2 \\
\end{array}
\right)
$$ |
Indication
Par opérations linéaires sur les lignes, obtenir une matrice échelonnée.
Solution
La matrice
$
\left(
%\fbox{1}
\begin{array}{cccc}
\fbox{2} & 3 & 3 & 1 \\
0 & \fbox{1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \fbox{8} & 1 \\
0 & 0 & 0 & \fbox{1} \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}\right)
$
est échelonnée de rang $4$. Donc $\text{rg}(A)=4$.
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Question 3 :
Déterminer le rang de la matrice
$$
A = \left(
\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 7 & 1 \\
2 & 3 & 3 & 1 \\
0 & 0 & 8 & 1 \\
4 & 6 & 6 & 2 \\
0 & 0 & 7 & 2 \\
\end{array}
\right)
$$ |
Indication
Par opérations linéaires sur les lignes, obtenir une matrice échelonnée.
Solution
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Question 4 :
Déterminer le rang de la matrice
$$
A = \left(
\begin{array}{cccc}
3 & 0 & 7 & 1 \\
2 & 3 & 3 & 1 \\
5 & 3 & 10 & 1 \\
\end{array}
\right)
$$
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Indication
Par opérations linéaires sur les lignes, obtenir une matrice échelonnée.
Solution
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Pour s'entraîner, voici un fichier Scilab qui vous donne les étapes pour aboutir à une matrice échelonnée : FICHIER SCILAB rang par étapes
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Question 5 :
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Indication
Par opérations linéaires sur les lignes, obtenir une matrice échelonnée.
Solution
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Question 6 :
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Indication
Par opérations linéaires sur les lignes, obtenir une matrice échelonnée.
Solution
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Question 7 :
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Indication
Par opérations linéaires sur les lignes, obtenir une matrice échelonnée.
Solution
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Question 8 :
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Indication
Par opérations linéaires sur les lignes, obtenir une matrice échelonnée.
Solution
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