Par définition : $\varphi \ : \ E \to F$ est une application linéaire ssi $$ \text{$\forall (u,v) \in E^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $\varphi( \lambda u + v ) = \lambda \varphi( u ) + \varphi( v )$} $$

$\forall (P,Q) \in \mathbb{R}_n[X]^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $ \begin{eqnarray} \varphi( \lambda P + Q ) &=& (3X+1) \times (\lambda P + Q)'(X) - (\lambda P + Q) (X) \qquad \text{ par définition de } \varphi \\ &=& (3X+1) \times (\lambda P'(X) + Q'(X)) - (\lambda P(X) + Q(X) ) \qquad \text{ par linéarité de la dérivation} \\ &=& \lambda ( (3X+1) \times P'(X) - P(X)) + ( (3X+1) \times Q'(X) - Q(X) ) \\ &=& \lambda \varphi( P ) + \varphi( Q ) \end{eqnarray} $
donc $\varphi$ est une application linéaire.

La base canonique de $\mathbb{R}_n[X] $ est formée des $n+1$ polynômes $(P_k)_{0 \leq k \leq n}$ où $P_k(X) = X^k$.

La base canonique de $\mathbb{R}_n[X] $ est formée des $n+1$ polynômes $(1,X,\ldots,X^n)$.

$\varphi(1) = (3X+1) \times 0 - 1 = -1$
$\varphi(X) = (3X+1) \times 1 - X = 1+2X$
$\varphi(X^2) = (3X+1) \times (2X) - X^2 = 2X+5X^2$
et de façon générale, pour tout $k \geq 1$ on a $\varphi(X^k) = (3X+1) \times (kX^{k-1}) - X^k = kX^{k-1}+(3k-1)X^k$ Donc $\varphi(1) = -1$ et pour tout $k \geq 1$ on a $\varphi(X^k) = kX^{k-1}+(3k-1)X^k$.

On sait déjà que $\varphi$ est linéaire, il reste à démontrer que $\text{Im}(\varphi) \subset \mathbb{R}_n[X]$.

La base canonique de $\mathbb{R}_n[X] $ est formée des $n+1$ polynômes $(1,X,\ldots,X^n)$. Donc $\text{Im}(\varphi) = Vect ( (\varphi(X^k)) )$.

D'après la question précédente, pour tout $k \in [\![0;n]\!]$ on a donc $\varphi(X^k)$ est de degré $k$, donc $\varphi(X^k) \in \mathbb{R}_n[X]$ ; et puisque $\mathbb{R}_n[X]$ est un espace vectoriel, on a donc $\text{Im}(\varphi) = Vect ( (\varphi(X^k)) ) \subset \mathbb{R}_n[X]$.

$\varphi$, qui est linéaire, est donc un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$.

On a vu que $\varphi(1) = -1$ et pour tout $j \geq 1$ on a $\varphi(X^j) = j X^{j-1}+(3j-1)X^j$. Donc la matrice de $\varphi$ dans la base $(1,X,\ldots,X^n)$ de $\mathbb{R}_n[X]$ est la matrice de ${\mathcal M}_{n+1}(\mathbb R)$ : $$ A = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & 2 & \ddots & & \vdots \\ 0 & 0 & \ 5 & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & n\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 3n-1 \\ \end{pmatrix} \ \in {\mathcal M}_{n+1}(\mathbb R) $$ $$ \forall (i,j) \in [\![ 0 ;n ]\!]^2, \quad a_{i,j} = \left\lbrace \begin{array}{lll} 3j-1 & \quad \text{ si } i=j & \text{(sur la diagonale)} \\ j & \quad \text{ si } i = j-1 & \text{(juste au dessus de la diagonale)} \\ 0 & \quad \text{ sinon } \end{array} \right. $$

Quelle est la forme de $A$ ?

$A$ est une matrice triangulaire supérieure et aucun des termes de sa diagonale n'est nul. Donc $A$ est inversible et $A$ est de rang maximal : $rg(A) = n+1$.

Autre solution :
$A$ est une matrice triangulaire supérieure donc $A$ est échelonnée ; et aucun des termes de sa diagonale n'est nul donc $rg(A) = n+1$.

$A$ est la matrice de $\varphi$ dans une base donc les propriétés de $A$ se "transmettent" à $\varphi$.

$A$ est de rang maximal donc $A$ est inversible donc $\varphi$ est un isomorphisme.
$\varphi$ est un isomorphisme donc $\ker(\varphi) = \{ 0_{\mathbb{R}_n[X]} \}$

se servir de la question 6

$\varphi$ est un isomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ donc pour tout polynôme $Q \in \mathbb{R}_n[X]$, il existe un unique polynôme $P \in \mathbb{R}_n[X]$ tel que $\varphi(P) = Q$.