Exercices corrigés sur les espaces vectoriels |
Soient $E$ un espace vectoriel et $\varphi $ une application linéaire de
$E$ dans lui-même telle que $\varphi ^2=\varphi $. On dit que $\varphi$ est un projecteur.
Question 1 :
Montrer que $E= \hbox {Ker } (\varphi )\oplus \hbox{Im }(\varphi )$ |
Indication
Par définition, montrer que $E = F \oplus G$ c'est montrer que
$\forall x \in E$, il existe un unique couple $(y,z) \in F \times G$ tels que $x = y + z$.
Raisonner par analyse synthèse.
Solution
Raisonnons par analyse synthèse : supposons que $x \in E$ peut s'écrire sous la forme $x=y+z$ avec $y \in \text{Im}(\varphi)$
et $z \in \ker(\varphi)$.
Alors $x= y+z$ implique $\varphi(x) = \varphi(y+z) = \varphi(y) + \varphi(z)$ car $\varphi$ est linéaire.
Mais puisque $z \in \ker(\varphi)$, $\varphi(z) = 0_E$.
Donc $\varphi(x) = \varphi(y)$.
De plus $y \in \text{Im}(\varphi)$ donc il existe $w \in E$ tel que $y=\varphi(w)$. De sorte que $\varphi(y)= \varphi^2(w)$ ; mais comme
par hypothèse, $\varphi^2 = \varphi$, on a $\varphi(y)= \varphi^2(w) = \varphi(w)=y$.
Donc $\varphi(x) = \varphi(y) = y$. Donc $y= \varphi(x)$ ; et alors $z=x-y = x-\varphi(x)$.
$y$ et $z$ sont donc uniques.
Réciproquement,
Pour tout $x \in E$, on peut poser $y = \varphi(x)$ et $z = x - \varphi(x)$.
Alors $y + z = x$
Et par construction, $y = \varphi(x)$ donc $y$ est un vecteur de $\text{Im}(\varphi)$.
Tandis que
$\varphi(z) = \varphi(x - \varphi(x))= \varphi(x) - \varphi^2(x)= \varphi(x) - \varphi(x) = 0_E$.
Donc $z$ est donc un vecteur de $\ker(\varphi)$.
Ainsi, tout vecteur $x \in E$ s'écrit de manière unique comme somme d'un vecteur $y$ de $\text{Im}(\varphi)$ et d'un vecteur $z$ de $\ker(\varphi)$.
Donc $E = \text{Im}(\varphi) \oplus \ker(\varphi)$.
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Question 2 :
Supposons que $E$ est de dimension finie $n$. Posons $q=
\hbox{dim } (\hbox {Ker } (\varphi ))$.
Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}
= \{ e_1, \ldots ,e_n\} $
de $E$ telle que : $\varphi (e_1)=\ldots =\varphi (e_q)=0$ et, pour
tout $r>q$, $\varphi (e_r)=e_r$. Déterminer la matrice de $\varphi
$ dans la base $\mathcal{B} $. |
Indication
imaginer dans quel sous-espace ces vecteurs se trouvent.
Solution
En considérant une base adaptée $( e_1, \ldots ,e_n)$ à la décomposition
$E = \ker(\varphi) \oplus \text{Im}(\varphi)$ :
$( e_1, \ldots ,e_q)$ est une base de $\ker(\varphi)$ et
$( e_{q+1}, \ldots ,e_n)$ est une base de $\text{Im}(\varphi)$.
$\varphi (e_1)=\ldots =\varphi (e_q)=0$ car ce sont des vecteurs de $\ker(\varphi)$ ;
et $\varphi (e_r)=e_r$ pour tout $r>q$ car ce sont des vecteurs de $\text{Im}(\varphi)$ :
Si $v \in \text{Im}(\varphi)$ alors il existe $w \in E$ tel que $v = \varphi(w)$ ; donc $\varphi(v) = \varphi^2(w)$ or $\varphi^2=\varphi$ donc $\varphi(v) = \varphi^2(w)= \varphi(w) = v$. Donc $\varphi(v) = v$.
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