Par définition : $\varphi \ : \ E \to F$ est une application linéaire ssi $$ \text{$\forall (u,v) \in E^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $\varphi( \lambda u + v ) = \lambda \varphi( u ) + \varphi( v )$} $$

$\forall \left( \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right) , \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array} \right) \right) \in (\mathbb{R}^3)^2$, $\forall \lambda \in \mathbb{R}$ on a $ \begin{eqnarray} \varphi \left( \lambda \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array} \right) \right) &=& \varphi \left( \left( \begin{array}{c} \lambda x_1 + x_2 \\ \lambda y_1 + y_2 \\ \lambda z_1 + z_2 \end{array} \right) \right) \\ &=& \left( \begin{array}{c} (\lambda x_1 + x_2) + (\lambda y_1 + y_2) + (\lambda z_1 + z_2) \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \text{ par définition de } \varphi \\ &=& \left( \begin{array}{c} \lambda (x_1 + y_1 + z_1 ) + (x_2 + y_2 + z_2) \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\ &=& \lambda \left( \begin{array}{c} (x_1 + y_1 + z_1 ) \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} (x_2 + y_2 + z_2 ) \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\ &=& \lambda \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{array} \right) \right) + \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{array} \right) \right) \qquad \text{ par définition de } \varphi \end{eqnarray} $
donc $\varphi$ est une application linéaire.

Justifier que $\forall x \in E$ on a $\varphi(x) \in E$.

L'image d'un vecteur de $\mathbb{R}^3$ est par définition un vecteur de $\mathbb{R}^3$. Donc $\varphi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}^3$.

Pour tout $x \in E$, comparer $\varphi (x)$ et $\varphi \circ \varphi (x)$.
Parfois il suffit de le faire sur une base $(e_i)$ de $E$.

$\forall \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3$, on a $ \begin{eqnarray} \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \right) &=& \left( \begin{array}{c} x + y + z \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \text{ par définition de } \varphi \end{eqnarray} $
tandis que
$ \begin{eqnarray} \varphi \circ \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \right) &=& \varphi \left( \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \right) \right) \\ &=& \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x + y + z \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right) \qquad \text{ par définition de } \varphi \\ &=& \left( \begin{array}{c} (x + y + z)+0+0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \text{ par définition de } \varphi \\ &=& \left( \begin{array}{c} x + y + z \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \text{ par définition de } \varphi \end{eqnarray} $ Ainsi, pour tout vecteur $ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3$, on a $$ \varphi \circ \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \right) = \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \right)$$
Donc $\varphi \circ \varphi = \varphi$.

Conclusion : $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ qui vérifie $\varphi \circ \varphi = \varphi$. Donc $\varphi$ est un projecteur. C'est la projection de $E$ sur $\text{Im} ( \varphi ) $ parallèlement à $\ker( \varphi ) $.

comme d'habitude, $\ker( \varphi ) = \{ u \in E \mid \varphi(u) = 0_E \}$

$\ker( \varphi ) = \{ u \in E \mid \varphi(u) = 0_E \}$ donc $\ker( \varphi ) = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3 \mid \left( \begin{array}{c} x+y+z \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right\rbrace $ $\ker( \varphi ) = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3 \mid x+y+z = 0 \right\rbrace $ $\ker( \varphi ) = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3 \mid x = -y -z \right\rbrace $ $\ker( \varphi ) = \left\lbrace \left( \begin{array}{c} -y-z \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3 \mid (y,z) \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace $ $\ker( \varphi ) = \left\lbrace y \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) + z \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \mid (y,z) \in \mathbb{R}^2 \right\rbrace $ donc $\ker( \varphi ) = Vect \left( \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) ; \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right) $ est un espace de dimension $2$ car ces deux vecteurs forment une famille libre.

Parce que $\varphi$ est un projecteur, on a $\text{Im}( \varphi ) = \{ u \in E \mid \varphi(u) = u \}$.

Sinon, comme d'habitude, si $(e_i)_{i \in I}$ est une base de $E$, $\text{Im}( \varphi ) = Vect ( ( \varphi(e_i) )_{i \in I} )$.

Parce que $\varphi$ est un projecteur, on a $\text{Im}( \varphi ) = \{ u \in E \mid \varphi(u) = u \}$
$\forall \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \in \mathbb{R}^3$, on a $ \varphi \left( \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \iff \left( \begin{array}{c} x+y+z \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) \iff \left\lbrace \begin{array}{l} x+y+z=x \\ y=0 \\ z=0 \\ \end{array} \right. \iff \left\lbrace \begin{array}{l} x \in \mathbb{R} \\ y=0 \\ z=0 \\ \end{array} \right.$ Donc $\text{Im}( \varphi ) = Vect \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right)$ est une droite vectorielle.

Remarque, par l'image de la base canonique on aurait eu le même résultat : ${\cal B } = \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ; \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) ; \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right)$ est la base canonique de $\mathbb{R}^3$.
$ \varphi \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$ et $\quad$ $ \varphi \left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$ et $\quad$ $ \varphi \left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)$
Donc $\text{Im}( \varphi ) = Vect \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ; \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) ; \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right) = Vect \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right) $ est une droite vectorielle.