VOICI différents articles pour situer le

GRAND THEOREME DE FERMAT

Une description du théorème de Fermat :

Le théorème de Fermat-Wiles est une aventure qui a commencé en 1641. Il a inspiré des générations de mathématiciens pendant 353 années.

Tout commence avec une note de Pierre de Fermat en marge d'une page de l'Arithmétique de Diophante :  " Il n'est pas possible de partager un cube, en deux cubes, une puissance quatrième en deux puissances quatrièmes et en général une puissance d'exposant supérieur au deuxième en puissances de même exposant. J'en ai découvert une démonstration merveilleuse. L'étroitesse de la marge ne la contient pas.  "

En langage mathématique moderne, cela devient: pour tout entier n dans N \{0, 1, 2} , l'équation aⁿ + bⁿ = cⁿ, n'a pas de solutions (a, b, c) (N*) 3. C'est à dire que pour tout entier n plus grand que 3, l'équation aⁿ + bⁿ = cⁿ n'a pas de solution entière autre que la solution évidente 1ⁿ = 1ⁿ+0ⁿ.

Cette note, rédigée avec beaucoup de mystère, apparaît comme un défi pour les mathématiciens professionnels et amateurs et a fait la célébrité de la conjecture devenue aujourd'hui un vrai théorème grâce à la démonstration de Andrew Wiles.
" Est-ce que Fermat a réellement démontré le théorème ? " est certainement la question que les amateurs se posent. Cela restera sûrement un mystère. Cependant il est certain qu'il a démontré le théorème pour des exposants simples comme n = 4, avec une méthode forte intéressante qu'il a lui même nommée " descente infinie " en 1659. (cf article suivant)

Il est à remarquer que cette équation est une généralisation des Triplets Pythagoriciens , c'est à dire des entiers représentant les longueurs des côtés d'un triangle rectangle : a² + b² = c² .
Cependant, une interprétation géométrique de la généralisation de Fermat est plus "floue" : en considérant la courbe d'équation  xⁿ + yⁿ = 1 : si n > 2, cette courbe ne passe par aucun point à coordonnées rationnelles non nulles.
Une démonstration du cas n=2 et les cas n=3 (nécessite l'usage des nombres complexes, programme de TS ou voir les travaux de Sophie Germain) et n=4. D'autres cas ont été réglés "individuellement" et ont donné naissance à l'étude de nombreux nouveaux concepts mathématiques en algèbre.

Conséquences de ce théorème :
Ce théorème n'a aucune application en soi : c'est par les idées qu'il a fallu mettre en œuvre pour le démontrer, par les outils qui ont été mis en place pour ce faire, qu'il prend une telle valeur. Les développements théoriques et informatiques qui ont résulté de ce problème elles n'ont pas fini...
Un aperçu des idées de la démonstration de Wiles.

Il est à noté que des physiciens se sont intéressé à ce théorème parceque leurs recherches les conduisaient vers cette équation : lien

Quelques grands noms ayant travaillé sur ce théorème :

Andrew Wiles

Pierre de Fermat

Sophie Germain première grande femme mathématicienne

Adrien-Marie Legendre

Peter Gustav Lejeune-Dirichlet

Leonhard Euler

Joseph Liouville

Carl Friedrich Gauss

Ferdinand Eisenstein

Ernst Kummer

Augustin-Louis Cauchy